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数学基础知识

数据科学需要一定的数学基础,但仅仅做应用的话,如果时间不多,不用学太深,了解基本公式即可,遇到问题再查吧。

下面是常见的一些数学基础概念,建议大家收藏后再仔细阅读,遇到不懂的概念可以直接在这里查~

高等数学

1.导数定义:

导数和微分的概念

f(x0)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δxf'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x} (1)

或者:

f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}} (2)

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

函数f(x)f(x)x0x_0处的左、右导数分别定义为:

左导数:f(x0)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx=limxx0f(x)f(x0)xx0,(x=x0+Δx){{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}},(x={{x}_{0}}+\Delta x)

右导数:f+(x0)=limΔx0+f(x0+Δx)f(x0)Δx=limxx0+f(x)f(x0)xx0{{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}

3.函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数f(x)f(x)x0x_0处可微f(x)\Leftrightarrow f(x)x0x_0处可导

Th2: 若函数在点x0x_0处可导,则y=f(x)y=f(x)在点x0x_0处连续,反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3: f(x0){f}'({{x}_{0}})存在f(x0)=f+(x0)\Leftrightarrow {{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})={{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})

4.平面曲线的切线和法线

切线方程 : yy0=f(x0)(xx0)y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})
法线方程:yy0=1f(x0)(xx0),f(x0)0y-{{y}_{0}}=-\frac{1}{f'({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f'({{x}_{0}})\ne 0

5.四则运算法则
设函数u=u(x)v=v(x)u=u(x),v=v(x)]在点xx可导则
(1) (u±v)=u±v(u\pm v{)}'={u}'\pm {v}' d(u±v)=du±dvd(u\pm v)=du\pm dv
(2)(uv)=uv+vu(uv{)}'=u{v}'+v{u}' d(uv)=udv+vdud(uv)=udv+vdu
(3) (uv)=vuuvv2(v0)(\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}(v\ne 0) d(uv)=vduudvv2d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}

6.基本导数与微分表
(1) y=cy=c(常数) y=0{y}'=0 dy=0dy=0
(2) y=xαy={{x}^{\alpha }}(α\alpha为实数) y=αxα1{y}'=\alpha {{x}^{\alpha -1}} dy=αxα1dxdy=\alpha {{x}^{\alpha -1}}dx
(3) y=axy={{a}^{x}} y=axlna{y}'={{a}^{x}}\ln a dy=axlnadxdy={{a}^{x}}\ln adx
特例: (ex)=ex({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}} d(ex)=exdxd({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx

(4) y=logaxy={{\log }_{a}}x y=1xlna{y}'=\frac{1}{x\ln a}

dy=1xlnadxdy=\frac{1}{x\ln a}dx
特例:y=lnxy=\ln x (lnx)=1x(\ln x{)}'=\frac{1}{x} d(lnx)=1xdxd(\ln x)=\frac{1}{x}dx

(5) y=sinxy=\sin x

y=cosx{y}'=\cos x d(sinx)=cosxdxd(\sin x)=\cos xdx

(6) y=cosxy=\cos x

y=sinx{y}'=-\sin x d(cosx)=sinxdxd(\cos x)=-\sin xdx

(7) y=tanxy=\tan x

y=1cos2x=sec2x{y}'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sec }^{2}}x d(tanx)=sec2xdxd(\tan x)={{\sec }^{2}}xdx
(8) y=cotxy=\cot x y=1sin2x=csc2x{y}'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-{{\csc }^{2}}x d(cotx)=csc2xdxd(\cot x)=-{{\csc }^{2}}xdx
(9) y=secxy=\sec x y=secxtanx{y}'=\sec x\tan x

d(secx)=secxtanxdxd(\sec x)=\sec x\tan xdx
(10) y=cscxy=\csc x y=cscxcotx{y}'=-\csc x\cot x

d(cscx)=cscxcotxdxd(\csc x)=-\csc x\cot xdx
(11) y=arcsinxy=\arcsin x

y=11x2{y}'=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}

d(arcsinx)=11x2dxd(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx
(12) y=arccosxy=\arccos x

y=11x2{y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} d(arccosx)=11x2dxd(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx

(13) y=arctanxy=\arctan x

y=11+x2{y}'=\frac{1}{1+{{x}^{2}}} d(arctanx)=11+x2dxd(\arctan x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx

(14) y=arccotxy=\operatorname{arc}\cot x

y=11+x2{y}'=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}

d(arccotx)=11+x2dxd(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx
(15) y=shxy=shx

y=chx{y}'=chx d(shx)=chxdxd(shx)=chxdx

(16) y=chxy=chx

y=shx{y}'=shx d(chx)=shxdxd(chx)=shxdx

7.复合函数,反函数,隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设y=f(x)y=f(x)在点xx的某邻域内单调连续,在点xx处可导且f(x)0{f}'(x)\ne 0,则其反函数在点xx所对应的yy处可导,并且有dydx=1dxdy\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}
(2) 复合函数的运算法则:若 μ=φ(x)\mu =\varphi(x) 在点xx可导,而y=f(μ)y=f(\mu)在对应点μ\mu(μ=φ(x)\mu =\varphi (x))可导,则复合函数y=f(φ(x))y=f(\varphi (x))在点xx可导,且y=f(μ)φ(x){y}'={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)
(3) 隐函数导数dydx\frac{dy}{dx}的求法一般有三种方法:
1)方程两边对xx求导,要记住yyxx的函数,则yy的函数是xx的复合函数.例如1y\frac{1}{y}y2{{y}^{2}}lnyln yey{{{e}}^{y}}等均是xx的复合函数.
xx求导应按复合函数连锁法则做.
2)公式法.由F(x,y)=0F(x,y)=0dydx=Fx(x,y)Fy(x,y)\frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}'}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}_{y}}(x,y)},其中,Fx(x,y){{{F}'}_{x}}(x,y)
Fy(x,y){{{F}'}_{y}}(x,y)分别表示F(x,y)F(x,y)xxyy的偏导数
3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

(1)(ax)(n)=axlnna(a>0)(ex)(n)=ex({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}
(2)(sinkx)(n)=knsin(kx+nπ2)(\sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})
(3)(coskx)(n)=kncos(kx+nπ2)(\cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})
(4)(xm)(n)=m(m1)(mn+1)xmn({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}
(5)(lnx)(n)=(1)(n1)(n1)!xn(\ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}
(6)莱布尼兹公式:若u(x),v(x)u(x)\,,v(x)nn阶可导,则
(uv)(n)=i=0ncniu(i)v(ni){{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}},其中u(0)=u{{u}^{({0})}}=uv(0)=v{{v}^{({0})}}=v

9.微分中值定理,泰勒公式

Th1:(费马定理)

若函数f(x)f(x)满足条件:
(1)函数f(x)f(x)x0{{x}_{0}}的某邻域内有定义,并且在此邻域内恒有
f(x)f(x0)f(x)\le f({{x}_{0}})f(x)f(x0)f(x)\ge f({{x}_{0}}),

(2) f(x)f(x)x0{{x}_{0}}处可导,则有 f(x0)=0{f}'({{x}_{0}})=0

Th2:(罗尔定理)

设函数f(x)f(x)满足条件:
(1)在闭区间[a,b][a,b]上连续;

(2)在(a,b)(a,b)内可导;

(3)f(a)=f(b)f(a)=f(b)

则在(a,b)(a,b)内一存在个$\xi $,使 f(ξ)=0{f}'(\xi )=0
Th3: (拉格朗日中值定理)

设函数f(x)f(x)满足条件:
(1)在[a,b][a,b]上连续;

(2)在(a,b)(a,b)内可导;

则在(a,b)(a,b)内一存在个$\xi $,使 f(b)f(a)ba=f(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )

Th4: (柯西中值定理)

设函数f(x)f(x)g(x)g(x)满足条件:
(1) 在[a,b][a,b]上连续;

(2) 在(a,b)(a,b)内可导且f(x){f}'(x)g(x){g}'(x)均存在,且g(x)0{g}'(x)\ne 0

则在(a,b)(a,b)内存在一个$\xi $,使 f(b)f(a)g(b)g(a)=f(ξ)g(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}

10.洛必达法则
法则Ⅰ (00\frac{0}{0}型)
设函数f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)满足条件:
limxx0f(x)=0,limxx0g(x)=0\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0;

f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)x0{{x}_{0}}的邻域内可导,(在x0{{x}_{0}}处可除外)且g(x)0{g}'\left( x \right)\ne 0;

limxx0f(x)g(x)\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}存在(或$\infty $)。

则:
limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)g(x)\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}
法则I{{I}'} (00\frac{0}{0}型)设函数f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)满足条件:
limxf(x)=0,limxg(x)=0\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0;

存在一个X>0X>0,当x>X\left| x \right|>X时,f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)可导,且g(x)0{g}'\left( x \right)\ne 0;limxx0f(x)g(x)\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}存在(或$\infty $)。

limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)g(x)\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}
法则Ⅱ( \frac{\infty }{\infty } 型) 设函数 f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right) 满足条件:
limxx0f(x)=,limxx0g(x)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty;
f(x),g(x)f\left( x \right),g\left( x \right)x0{{x}_{0}} 的邻域内可导(在x0{{x}_{0}}处可除外)且g(x)0{g}'\left( x \right)\ne 0;limxx0f(x)g(x)\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)} 存在(或$\infty ))。 则limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)g(x)\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ 同理法则II{I{I}'} ( \frac{\infty }{\infty } 型)仿法则 I{{I}'} 可写出。

11.泰勒公式

设函数f(x)f(x)在点x0{{x}_{0}}处的某邻域内具有n+1n+1阶导数,则对该邻域内异于x0{{x}_{0}}的任意点xx,在x0{{x}_{0}}xx之间至少存在
一个ξ\xi,使得:
f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+12!f(x0)(xx0)2+f(x)=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}''({{x}_{0}}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots
+f(n)(x0)n!(xx0)n+Rn(x)+\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)
其中 Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(xx0)n+1{{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}}称为f(x)f(x)在点x0{{x}_{0}}处的nn阶泰勒余项。

x0=0{{x}_{0}}=0,则nn阶泰勒公式
f(x)=f(0)+f(0)x+12!f(0)x2++f(n)(0)n!xn+Rn(x)f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}''(0){{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}_{n}}(x)……(1)
其中 Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!xn+1{{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}},$\xi 0在0与x$之间.(1)式称为麦克劳林公式

常用五种函数在x0=0{{x}_{0}}=0处的泰勒公式

(1) ex=1+x+12!x2++1n!xn+xn+1(n+1)!eξ{{{e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{\xi }}

=1+x+12!x2++1n!xn+o(xn)=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})

(2) sinx=x13!x3++xnn!sinnπ2+xn+1(n+1)!sin(ξ+n+12π)\sin x=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )

=x13!x3++xnn!sinnπ2+o(xn)=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})

(3) cosx=112!x2++xnn!cosnπ2+xn+1(n+1)!cos(ξ+n+12π)\cos x=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )

=112!x2++xnn!cosnπ2+o(xn)=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})

(4) ln(1+x)=x12x2+13x3+(1)n1xnn+(1)nxn+1(n+1)(1+ξ)n+1\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+\frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+\xi )}^{n+1}}}

=x12x2+13x3+(1)n1xnn+o(xn)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})

(5) (1+x)m=1+mx+m(m1)2!x2++m(m1)(mn+1)n!xn{{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}
+m(m1)(mn+1)(n+1)!xn+1(1+ξ)mn1+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+\xi )}^{m-n-1}}

(1+x)m=1+mx+m(m1)2!x2+{{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots+m(m1)(mn+1)n!xn+o(xn)+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})

12.函数单调性的判断
Th1: 设函数f(x)f(x)(a,b)(a,b)区间内可导,如果对x(a,b)\forall x\in (a,b),都有f(x)>0f\,'(x)>0(或f(x)<0f\,'(x)<0),则函数f(x)f(x)(a,b)(a,b)内是单调增加的(或单调减少)

Th2: (取极值的必要条件)设函数f(x)f(x)x0{{x}_{0}}处可导,且在x0{{x}_{0}}处取极值,则f(x0)=0f\,'({{x}_{0}})=0

Th3: (取极值的第一充分条件)设函数f(x)f(x)x0{{x}_{0}}的某一邻域内可微,且f(x0)=0f\,'({{x}_{0}})=0(或f(x)f(x)x0{{x}_{0}}处连续,但f(x0)f\,'({{x}_{0}})不存在。)
(1)若当xx经过x0{{x}_{0}}时,f(x)f\,'(x)由“+”变“-”,则f(x0)f({{x}_{0}})为极大值;
(2)若当xx经过x0{{x}_{0}}时,f(x)f\,'(x)由“-”变“+”,则f(x0)f({{x}_{0}})为极小值;
(3)若f(x)f\,'(x)经过x=x0x={{x}_{0}}的两侧不变号,则f(x0)f({{x}_{0}})不是极值。

Th4: (取极值的第二充分条件)设f(x)f(x)在点x0{{x}_{0}}处有f(x)0f''(x)\ne 0,且f(x0)=0f\,'({{x}_{0}})=0,则 当f(x0)<0f'\,'({{x}_{0}})<0时,f(x0)f({{x}_{0}})为极大值;
f(x0)>0f'\,'({{x}_{0}})>0时,f(x0)f({{x}_{0}})为极小值。
注:如果f(x0)<0f'\,'({{x}_{0}})<0,此方法失效。

13.渐近线的求法
(1)水平渐近线 若limx+f(x)=b\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b,或limxf(x)=b\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b,则

y=by=b称为函数y=f(x)y=f(x)的水平渐近线。

(2)铅直渐近线 若limxx0f(x)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty,或limxx0+f(x)=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty,则

x=x0x={{x}_{0}}称为y=f(x)y=f(x)的铅直渐近线。

(3)斜渐近线 若a=limxf(x)x,b=limx[f(x)ax]a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax],则
y=ax+by=ax+b称为y=f(x)y=f(x)的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断
Th1: (凹凸性的判别定理)若在I上f(x)<0f''(x)<0(或f(x)>0f''(x)>0),则f(x)f(x)在I上是凸的(或凹的)。

Th2: (拐点的判别定理1)若在x0{{x}_{0}}f(x)=0f''(x)=0,(或f(x)f''(x)不存在),当xx变动经过x0{{x}_{0}}时,f(x)f''(x)变号,则(x0,f(x0))({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))为拐点。

Th3: (拐点的判别定理2)设f(x)f(x)x0{{x}_{0}}点的某邻域内有三阶导数,且f(x)=0f''(x)=0f(x)0f'''(x)\ne 0,则(x0,f(x0))({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))为拐点。

15.弧微分

dS=1+y2dxdS=\sqrt{1+y{{'}^{2}}}dx

16.曲率

曲线y=f(x)y=f(x)在点(x,y)(x,y)处的曲率k=y(1+y2)32k=\frac{\left| y'' \right|}{{{(1+y{{'}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}
对于参数方程KaTeX parse error: No such environment: align at position 15: \left\{ \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ & x=\varphi (…
k=φ(t)ψ(t)φ(t)ψ(t)[φ2(t)+ψ2(t)]32k=\frac{\left| \varphi '(t)\psi ''(t)-\varphi ''(t)\psi '(t) \right|}{{{[\varphi {{'}^{2}}(t)+\psi {{'}^{2}}(t)]}^{\tfrac{3}{2}}}}

17.曲率半径

曲线在点MM处的曲率k(k0)k(k\ne 0)与曲线在点MM处的曲率半径ρ\rho有如下关系:ρ=1k\rho =\frac{1}{k}

线性代数

行列式

1.行列式按行(列)展开定理

(1) 设A=(aij)n×nA = ( a_{{ij}} )_{n \times n},则:ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn={A,i=j0,ija_{i1}A_{j1} +a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{{in}}A_{{jn}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}

a1iA1j+a2iA2j++aniAnj={A,i=j0,ija_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{{ni}}A_{{nj}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}AA=AA=AE,AA^{*} = A^{*}A = \left| A \right|E,其中:A=(A11A12A1nA21A22A2nAn1An2Ann)=(Aji)=(Aij)TA^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{{nn}} \\ \end{pmatrix} = (A_{{ji}}) = {(A_{{ij}})}^{T}

Dn=111x1x2xnx1n1x2n1xnn1=1j<in(xixj)D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})

(2) 设A,BA,Bnn阶方阵,则AB=AB=BA=BA\left| {AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right| = \left| B \right|\left| A \right| = \left| {BA} \right|,但A±B=A±B\left| A \pm B \right| = \left| A \right| \pm \left| B \right|不一定成立。

(3) kA=knA\left| {kA} \right| = k^{n}\left| A \right|,AAnn阶方阵。

(4) 设AAnn阶方阵,AT=A;A1=A1|A^{T}| = |A|;|A^{- 1}| = |A|^{- 1}(若AA可逆),A=An1|A^{*}| = |A|^{n - 1}

n2n \geq 2

(5) AOOB=ACOB=AOCB=AB\left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad C} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {C\quad B} \\ \end{matrix} \right| =| A||B|
A,BA,B为方阵,但OAm×mBn×nO=(1)mnAB\left| \begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \\ B_{n \times n} & { O} \\ \end{matrix} \right| = ({- 1)}^{{mn}}|A||B|

(6) 范德蒙行列式Dn=111x1x2xnx1n1x2n1xnn1=1j<in(xixj)D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})

AAnn阶方阵,λi(i=1,2,n)\lambda_{i}(i = 1,2\cdots,n)AAnn个特征值,则
A=i=1nλi|A| = \prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}

矩阵

矩阵:m×nm \times n个数aija_{{ij}}排成mmnn列的表格[a11a12a1na21a22a2nam1am2amn]\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad\cdots\quad a_{1n} \\ a_{21}\quad a_{22}\quad\cdots\quad a_{2n} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}\quad a_{m2}\quad\cdots\quad a_{{mn}} \\ \end{bmatrix} 称为矩阵,简记为AA,或者(aij)m×n\left( a_{{ij}} \right)_{m \times n} 。若m=nm = n,则称AAnn阶矩阵或nn阶方阵。

矩阵的线性运算

1.矩阵的加法

A=(aij),B=(bij)A = (a_{{ij}}),B = (b_{{ij}})是两个m×nm \times n矩阵,则m×nm \times n 矩阵C=cij)=aij+bijC = c_{{ij}}) = a_{{ij}} + b_{{ij}}称为矩阵AABB的和,记为A+B=CA + B = C

2.矩阵的数乘

A=(aij)A = (a_{{ij}})m×nm \times n矩阵,kk是一个常数,则m×nm \times n矩阵(kaij)(ka_{{ij}})称为数kk与矩阵AA的数乘,记为kA{kA}

3.矩阵的乘法

A=(aij)A = (a_{{ij}})m×nm \times n矩阵,B=(bij)B = (b_{{ij}})n×sn \times s矩阵,那么m×sm \times s矩阵C=(cij)C = (c_{{ij}}),其中cij=ai1b1j+ai2b2j++ainbnj=k=1naikbkjc_{{ij}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{{in}}b_{{nj}} = \sum_{k =1}^{n}{a_{{ik}}b_{{kj}}}称为AB{AB}的乘积,记为C=ABC = AB

4. AT\mathbf{A}^{\mathbf{T}}A1\mathbf{A}^{\mathbf{-1}}A\mathbf{A}^{\mathbf{*}}三者之间的关系

(1) (AT)T=A,(AB)T=BTAT,(kA)T=kAT,(A±B)T=AT±BT{(A^{T})}^{T} = A,{(AB)}^{T} = B^{T}A^{T},{(kA)}^{T} = kA^{T},{(A \pm B)}^{T} = A^{T} \pm B^{T}

(2) (A1)1=A,(AB)1=B1A1,(kA)1=1kA1,\left( A^{- 1} \right)^{- 1} = A,\left( {AB} \right)^{- 1} = B^{- 1}A^{- 1},\left( {kA} \right)^{- 1} = \frac{1}{k}A^{- 1},

(A±B)1=A1±B1{(A \pm B)}^{- 1} = A^{- 1} \pm B^{- 1}不一定成立。

(3) (A)=An2 A  (n3)\left( A^{*} \right)^{*} = |A|^{n - 2}\ A\ \ (n \geq 3)(AB)=BA,\left({AB} \right)^{*} = B^{*}A^{*}, (kA)=kn1A  (n2)\left( {kA} \right)^{*} = k^{n -1}A^{*}{\ \ }\left( n \geq 2 \right)

(A±B)=A±B\left( A \pm B \right)^{*} = A^{*} \pm B^{*}不一定成立。

(4) (A1)T=(AT)1, (A1)=(AA)1,(A)T=(AT){(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1},\ \left( A^{- 1} \right)^{*} ={(AA^{*})}^{- 1},{(A^{*})}^{T} = \left( A^{T} \right)^{*}

5.有关A\mathbf{A}^{\mathbf{*}}的结论

(1) AA=AA=AEAA^{*} = A^{*}A = |A|E

(2) A=An1 (n2),    (kA)=kn1A,  (A)=An2A(n3)|A^{*}| = |A|^{n - 1}\ (n \geq 2),\ \ \ \ {(kA)}^{*} = k^{n -1}A^{*},{{\ \ }\left( A^{*} \right)}^{*} = |A|^{n - 2}A(n \geq 3)

(3) 若AA可逆,则A=AA1,(A)=1AAA^{*} = |A|A^{- 1},{(A^{*})}^{*} = \frac{1}{|A|}A

(4) 若AAnn阶方阵,则:

r(A)={n,r(A)=n1,r(A)=n10,r(A)<n1r(A^*)=\begin{cases}n,\quad r(A)=n\\ 1,\quad r(A)=n-1\\ 0,\quad r(A)<n-1\end{cases}

6.有关A1\mathbf{A}^{\mathbf{- 1}}的结论

AA可逆AB=E;A0;r(A)=n;\Leftrightarrow AB = E; \Leftrightarrow |A| \neq 0; \Leftrightarrow r(A) = n;

A\Leftrightarrow A可以表示为初等矩阵的乘积;A;Ax=0\Leftrightarrow A;\Leftrightarrow Ax = 0

7.有关矩阵秩的结论

(1) 秩r(A)r(A)=行秩=列秩;

(2) r(Am×n)min(m,n);r(A_{m \times n}) \leq \min(m,n);

(3) A0r(A)1A \neq 0 \Rightarrow r(A) \geq 1

(4) r(A±B)r(A)+r(B);r(A \pm B) \leq r(A) + r(B);

(5) 初等变换不改变矩阵的秩

(6) r(A)+r(B)nr(AB)min(r(A),r(B)),r(A) + r(B) - n \leq r(AB) \leq \min(r(A),r(B)),特别若AB=OAB = O
则:r(A)+r(B)nr(A) + r(B) \leq n

(7) 若A1A^{- 1}存在r(AB)=r(B);\Rightarrow r(AB) = r(B);B1B^{- 1}存在
r(AB)=r(A);\Rightarrow r(AB) = r(A);

r(Am×n)=nr(AB)=r(B);r(A_{m \times n}) = n \Rightarrow r(AB) = r(B);r(Am×s)=nr(AB)=r(A)r(A_{m \times s}) = n\Rightarrow r(AB) = r\left( A \right)

(8) r(Am×s)=nAx=0r(A_{m \times s}) = n \Leftrightarrow Ax = 0只有零解

8.分块求逆公式

(AOOB)1=(A1OOB1)\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}(ACOB)1=(A1A1CB1OB1)\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \\\end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}& - A^{- 1}CB^{- 1} \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}

(AOCB)1=(A1OB1CA1B1)\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}&{O} \\ - B^{- 1}CA^{- 1} & B^{- 1} \\\end{pmatrix}(OABO)1=(OB1A1O)\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \\ \end{pmatrix}^{- 1} =\begin{pmatrix} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \\ \end{pmatrix}

这里AABB均为可逆方阵。

向量

1.有关向量组的线性表示

(1)α1,α2,,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}线性相关\Leftrightarrow至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2)α1,α2,,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}线性无关,α1,α2,,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}β\beta线性相关β\Leftrightarrow \beta可以由α1,α2,,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}唯一线性表示。

(3) β\beta可以由α1,α2,,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}线性表示
r(α1,α2,,αs)=r(α1,α2,,αs,β)\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)

2.有关向量组的线性相关性

(1)部分相关,整体相关;整体无关,部分无关.

(2) ① nnnn维向量
α1,α2αn\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}线性无关[α1α2αn]0\Leftrightarrow \left|\left\lbrack \alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n} \right\rbrack \right| \neq0nnnn维向量α1,α2αn\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}线性相关
[α1,α2,,αn]=0\Leftrightarrow |\lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\rbrack| = 0

n+1n + 1nn维向量线性相关。

③ 若α1,α2αS\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{S}线性无关,则添加分量后仍线性无关;或一组向量线性相关,去掉某些分量后仍线性相关。

3.有关向量组的线性表示

(1) α1,α2,,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}线性相关\Leftrightarrow至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2) α1,α2,,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}线性无关,α1,α2,,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}β\beta线性相关β\Leftrightarrow\beta 可以由α1,α2,,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}唯一线性表示。

(3) β\beta可以由α1,α2,,αs\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}线性表示
r(α1,α2,,αs)=r(α1,α2,,αs,β)\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)

4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

r(Am×n)=rr(A_{m \times n}) =r,则AA的秩r(A)r(A)AA的行列向量组的线性相关性关系为:

(1) 若r(Am×n)=r=mr(A_{m \times n}) = r = m,则AA的行向量组线性无关。

(2) 若r(Am×n)=r<mr(A_{m \times n}) = r < m,则AA的行向量组线性相关。

(3) 若r(Am×n)=r=nr(A_{m \times n}) = r = n,则AA的列向量组线性无关。

(4) 若r(Am×n)=r<nr(A_{m \times n}) = r < n,则AA的列向量组线性相关。

5.n\mathbf{n}维向量空间的基变换公式及过渡矩阵

α1,α2,,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}β1,β2,,βn\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}是向量空间VV的两组基,则基变换公式为:

(β1,β2,,βn)=(α1,α2,,αn)[c11c12c1nc21c22c2ncn1cn2cnn]=(α1,α2,,αn)C(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n} \\ c_{21}& c_{22}&\cdots & c_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{n1}& c_{n2} & \cdots & c_{{nn}} \\\end{bmatrix} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})C

其中CC是可逆矩阵,称为由基α1,α2,,αn\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}