建堆、堆排序、TopK问题大合集

一、如何建堆

1、向上调整建堆法O(NlogN)

原理：

利用向上调整的方法进行建堆，是通过模仿之前堆的插入操作，从第二个数开始，每次插入一个数，就对这个数进行向上调整，这样子既保证了原有数据为堆（即满足向上调整的条件），又保证了插入一个数据后不会破坏这个堆。这里以建大堆为例。

实现逻辑：

传入孩子位置的下标，通过parent = （child-1）/ 2找到parent的下标，比较父亲和孩子的val值的大小，孩子大则交换父子，然后child变成parent，parent继续向上找parent，直到孩子变成下标为0的元素，即最大元素时停止，或者当孩子小于父亲时直接跳出。

图示：

对于一组无序的数字 2 1 5 7 6 8 0 9 4 3 ，从i=1开始，即下标为1的第二个元素开始，模拟插入的过程。

对于第二个数据，插入前原来只有一个元素，可看作堆，放入后进行向上调整，调整完后是一个有2个元素的堆。

插入1后不用调整即为大堆。

对于第三个数据，插入前是2个元素的堆，插入后向上调整，变成有3个元素的堆。

调整完第四个

调整完所有元素为 9 8 7 6 5 2 0 1 4 3

如图所示，就得到了一个大堆。

由于每插入一个元素，都要向上调整h=logN，所以时间复杂度为O(NlogN)

2、向下调整建堆法O(N)

前提：使用向下调整的前提是左右子树必须已经是堆的结构了，因此不能从堆顶下标为0的位置开始调整，否则会导致父子关系错乱，最后得到的结果不是堆。

原理：

对于这样一组数据，我们该怎样使用向下调整法呢？

对于叶子节点，它们没有孩子，因此没有向下调整的必要。

对于第一个非叶子节点6，它有孩子为3，且单纯的一个3可以看作是大堆，因此可以从6开始向下调整，但是6>3因此调整后的结果不变。然后对于7这个结点，左孩子9可以调整，且左右孩子均可看作是左右子树，可以向下调整。

对于下一个结点5，左右子树8和0均可看作大堆，满足向下调整条件。

然后对于结点1，它的左右子树都是真的大堆，可以向下调整。

最后对于堆顶的结点2，左右子树均为大堆，继续调整。

从第一个非叶子节点开始，位置是(n-1-1)/2,第一个减一找到范围内的第一个孩子，然后-1除2找到其父亲，即第一个非叶子节点。

对于向下调整函数内部，传入要向下调整的位置，先找到其父亲，调整范围为size个数据，child作为下标不能>=size，如果孩子比父亲大就交换，然后parent变为child，child继续找下一个child，直到child>=size，其中不满足就跳出。

同时，为了得到左孩子和右孩子的大小加一步判断，并且要防止右孩子越界，即child+1<size。

向下调整建堆的时间复杂度为O(N)。看似是N个数据，每个都是h=logN趟，但经过计算后为O(N)。对比向上建堆，上层数据个数少，调整的步数多，下层数据多，但调整的步数少，因此总的调整次数就比向上建堆少。（这是一种巧记方法）

二、堆排序

升序 -- 建大堆

降序 -- 建小堆

以升序为例。如果建小堆，则只能保证堆顶的元素为最小的，满足升序，如果此时看剩下的n-1个元素，把它们看作新的堆，就会使父子关系错乱，从而不满足堆的结构。

而参照堆中pop函数的实现，我们可以先建一个大堆。

建好后将堆顶元素与最后一个元素交换，然后保证原堆顶的数在数组尾部不动，新堆顶向下调整，此时堆的范围虽然也是n-1，但是包含的是第二大到最小的元素，只有堆顶的元素变化，其它元素没有变化，堆顶的左右子树仍然满足大堆（最后一个数据不在范围内）。

然后经过向下调整，既把最大的元素放到数组尾，又将剩余元素形成了一个新堆，因此可以循环起来，不断将堆顶元素放到数组尾，最终完成排序。

先利用向下调整法建堆。

传入要排序的数据个数sz，end=sz-1指向最后一个元素，交换堆顶后最后一个元素，对剩下的sz-1个，即end个元素范围内的数据，对堆顶的元素向下调整。end为1时，为1 - 0的大堆，交换一下变为0-1，对于0这一个元素，向下调整不变。

堆排序对n个元素分别向下调整，时间复杂度为O(NlogN)。

最下面一层，包含约一半的结点，都是从堆顶向下调整得到的，因此也是N*logN，与向上调整类似（巧记）。

三、堆的应用

TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据集合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。

例如：有100亿个整型，占40个GB（实际上37多一点），而电脑的内存可能只有4-8G，无法一下存储这么多数据，后续也就不能进行访问、排序操作。

当内存存不下时，数据就存在磁盘文件中，但磁盘文件速度慢，且不能随机访问，因此不能使用简单的暴力解法。

最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
1. 用数据集合中前K个元素来建堆
前k个最大的元素，则建小堆
前k个最小的元素，则建大堆
2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

堆顶的数据一定是50个数据中的最大或最小，也就是Top50（以取最大的k个元素为例），外部的数如果比他大，说明已经有50个元素比堆顶元素大了，堆顶元素最大只能是top51，那么就用此元素替换堆顶元素，然后向下调整。

向下调整的目的是保证堆顶的元素是50个中最小的，方便后续比较。如果不是最小（建大堆时），假设是所有数据中最大的元素，则其它所有元素都无法进入，最初的50个元素就被认为是top50了，显然，这是错误的。因此TOP-K-MAX--建小堆，反之建大堆。

实际上，堆的结构有2个好处。

1、堆顶的元素是堆中k个元素的最大/最小，选出topk时，只需要将堆顶的第50名与其它元素比较，符合则进入前50，反之继续下一个元素。

2、堆的内部结构，保证了父亲大于/小于左右子树，因此遍历（调整）时可以依靠大小关系，将O(N)简化为O(logN)，提高了效率。