求法一
传送门
求法二
1.生成树计数
- 拉普拉斯矩阵 L\mathcal{L}L 是 n×nn \times nn×n 的一个矩阵
- Li,i=degiL_{i,i} = deg_iLi,i=degi
- Li,j=−number_of_edge(i,j)(i≠j)L_{i, j} = -number\_of\_edge (i, j)(i \neq j)Li,j=−number_of_edge(i,j)(i=j)
生成树数量为 L\mathcal{L}L 的任意一个 n−1n - 1n−1 阶主子式的行列式
2.i 为根的内向树计数
- 关联矩阵 MMM 是 n×mn \times mn×m 的一个矩阵
- jjj 条边的起点是 iii, Mi,j=1M_{i,j} = 1Mi,j=1
- jjj 条边的终点是 iii, Mi,j=−1M_{i,j} = -1Mi,j=−1
- 否则为 000
基本关联矩阵：MMM 删去任何一行的矩阵
- 矩阵 NNN
- 第 jjj 条边的起点为 iii，Ni,j=1N_{i,j} = 1Ni,j=1
- 否则为 000
以 iii 为根的内向树的方案数为 MNTMN^{T}MNT 删去第 iii 行 iii 列的主子式的行列式
3.i 为根的外向图计数
建反向图，变为 2.2.2.
4.s 出发的欧拉回路数量
did_idi 表示 iii 的出度，TuT_uTu 表示以 uuu 为根的内向生成树的数量
sss 出发的欧拉回路数量为 Ts×ds!×∏i≠s(di−1)!T_s \times d_s! \times \prod_{i \neq s} (d_i - 1)!Ts×ds!×∏i=s(di−1)!
5.整个图的欧拉回路数量
任意指定一个 sss，整个图的欧拉回路数量为 Ts×∏(di−1)!T_s \times \prod(d_i - 1)!Ts×∏(di−1)!
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