代数方程与差分方程模型

el/2024/4/19 23:25:53

1  代数方程模型。

所谓的代数方程模型就是有一边变量表示未知量,

代数方程,即由 多项式组成的方程。有时也泛指由 未知数的 代数式所组成的方程,包括 整式方程、 分式方程和根式方程。
例如:5x+2=7,x=1等。 代数,把algebra翻译成代数,就是用字母代替数的意思,继而推广。随着数学的发展,内在涵义又推广为用群结构或各种结构来代替科学现象中的各种关系。也就是说“代数”本质是个“代”字,通过研究各种抽象结构“代替”直接研究科学现象中的各种关系。


2  差分方程模型


就我个人的观点而言,差分方程模型最重要的作用在于,当我们在解微分方程的时候,有时候微分方程很难直接解,那么这个时候,我们就可以将微分方程的连续化变成离散的。通过找到一个递推式和知道初始条件,那么就可以近似的求解出微分方程的最终解。讲个笑话,高中数学中的等差数列的通项就是差分方程的形式。

在数学上, 递推关系(recurrence relation),也就是 差分方程(difference equation),是一种 递推地定义一个序列的方程式:序列的每一项目是定义为前一项的函数。某些简单定义的递推关系式可能会表现出非常复杂的( 混沌的)性质,他们属于数学中的 非线性分析领域。
所谓解一个递推关系式,也就是求其 解析解,即关于 n的非递归函数。

意义性质

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意义

在数值分析中首先遇到的问题是如何把微分方程化成相应的差分方程 ,使得差分方程的解能最好地近似表示原来的微分方程的解 ,其次才是进行计算。  [2]  
比如 dy+y*dx=0,y(0)=1 是一个微分方程, x取值[0,1]
(注:解为y(x)=e^(-x));
要实现微分方程的离散化,可以把x的区间分割为许多小区间 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1)/n,1]
这样上述微分方程可以离散化为:
差分方程 差分方程
y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0, k=0,1,2,...,n-1 (n 个离散方程组)
利用y(0)=1的条件,以及上面的差分方程,就可以计算出 y(k/n) 的近似值了。

http://www.ngui.cc/el/5179174.html

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